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Inst_eddies/Documentation_texfol/documentation.tex

@@ -191,21 +191,106 @@ d'ailleurs pas trouvé les formules toutes prêtes.
 
 Dans l'approximation plane, on confond la sphère au voisinage de $C$
 avec le plan tangent en $C$ (le plan de la la projection
-stéréographique oblique de centre $C$). Les formules de la projection
-stéréographique oblique se réduisent, à l'ordre 1 en
-$\delta \phi = \phi - \phi_C$ et
-$\delta \lambda = \lambda - \lambda_C$, à :
+stéréographique oblique de centre $C$). Si $C$ n'est pas à un pôle
+alors, lorsque le point $M(\lambda, \phi)$ tend vers $C$,
+$\delta \phi := \phi - \phi_C$ et
+$\delta \lambda := \lambda - \lambda_C$ tendent vers 0. Les formules
+de la projection stéréographique oblique se réduisent, à l'ordre 1 en
+$\delta \phi$ et $\delta \lambda$, à :
 \begin{align*}
   & x \approx a \cos \phi_C\ \delta \lambda \\
   & y \approx a\ \delta \phi
 \end{align*}
-Admettons que la vitesse soit identique à sa projection, à ce niveau
-d'approximation. Alors, en notant $\rho$ la
-distance entre l'extremum et $M$, la vitesse azimutale est :
+(Cf. commentaires sur Snyder 1987 k0797). Admettons que la vitesse
+soit identique à sa projection, à ce niveau d'approximation. Alors, en
+notant $\rho$ la distance entre l'extremum et $M$, la vitesse
+azimutale est :
 \begin{equation*}
   V_\theta = \frac{x v - y u}{\rho}
 \end{equation*}
 
+\section{Calcul de la vitesse dans la direction du contour}
+
+Soit une poly-ligne (fermée ou non) $(P_1, \dots, P_{n + 1})$. La
+longueur de la poly-ligne est :
+\begin{equation*}
+  l = \sum_{i = 1} ^n P_i P_{i + 1}
+\end{equation*}
+La vitesse moyenne dans la direction de la poly-ligne est :
+\begin{equation*}
+  \frac{|\int \mathbf{V} \cdot \ud \mathbf{l}|}{l}
+  =
+  \frac{1}{l}
+  \left|
+    \sum_{i = 1} ^n \int_{P_i} ^{P_{i + 1}} \mathbf{V} \cdot \ud \mathbf{l} 
+  \right|
+\end{equation*}
+Posons :
+\begin{align*}
+  & \ud l := \| \ud \mathbf{l} \| \\
+  & \mathbf{u}_T := \frac{1}{\ud l} \ud \mathbf{l}
+\end{align*}
+\begin{equation*}
+  \int_{P_i} ^{P_{i + 1}} \mathbf{V} \cdot \ud \mathbf{l}
+  = \int_{P_i} ^{P_{i + 1}} \mathbf{V} \cdot \mathbf{u}_T\ \ud l
+\end{equation*}
+Notons $C$ la position de l'extremum et :
+\begin{align*}
+  & (\delta \lambda)_i := \lambda_{i + 1} - \lambda_i \\
+  & (\delta \phi)_i := \phi_{i + 1} - \phi_i
+\end{align*}
+Dans l'approximation du plan tangent en $C$, les composantes de
+$\overrightarrow{P_i P_{i + 1}}$ sont :
+\begin{equation*}
+  \overrightarrow{P_i P_{i + 1}}
+  \begin{array}{|l}
+    a \cos \phi_C (\delta \lambda)_i \\
+    a (\delta \phi)_i
+  \end{array}
+\end{equation*}
+donc :
+\begin{equation*}
+  P_i P_{i + 1}
+  = a \sqrt{\cos^2 \phi_C (\delta \lambda)_i^2 + (\delta \phi)_i^2}    
+\end{equation*}
+Et, dans l'approximation du plan tangent en $C$, $\mathbf{u}_T$ est
+constant sur un segment $[P_i, P_{i + 1}]$ :
+\begin{equation*}
+  \int_{P_i} ^{P_{i + 1}} \mathbf{V} \cdot \ud \mathbf{l}
+  = \mathbf{u}_{T,i} \cdot \int_{P_i} ^{P_{i + 1}} \mathbf{V}\ \ud l
+\end{equation*}
+La vitesse est donnée aux points $P_i$ :
+\begin{equation*}
+  \mathbf{V}_i := \mathbf{V}(P_i)
+\end{equation*}
+Supposons que $\mathbf{V}$ varie linéairement avec la position sur le
+segment $[P_i, P_{i + 1}]$. Alors :
+\begin{equation*}
+  \int_{P_i} ^{P_{i + 1}} \mathbf{V}\ \ud l
+  = \frac{P_i P_{i + 1}}{2} (\mathbf{V}_i + \mathbf{V}_{i + 1})
+\end{equation*}
+Donc :
+\begin{equation*}
+  \int_{P_i} ^{P_{i + 1}} \mathbf{V} \cdot \ud \mathbf{l}
+  = \frac{1}{2} (\mathbf{V}_i + \mathbf{V}_{i + 1})
+  \cdot \overrightarrow{P_i P_{i + 1}}
+\end{equation*}
+Finalement, la vitesse moyenne dans la direction de la poly-ligne est :
+\begin{equation*}
+  \frac{|\int \mathbf{V} \cdot \ud \mathbf{l}|}{l}
+  = \frac{1}{2}
+  \frac
+  {
+    \left|
+      \sum_{i = 1} ^n
+      [
+      (u_i + u_{i + 1}) \cos \phi_C (\delta \lambda)_i
+      + (v_i + v_{i + 1}) (\delta \phi)_i
+      ]
+    \right|
+  }
+  {\sum_{i = 1} ^n \sqrt{\cos^2 \phi_C (\delta \lambda)_i^2 + (\delta \phi)_i^2}}
+\end{equation*}
 \section{Bons contours}
 
 Soit un extremum de SSH. Un \og bon contour\fg{} de cet extremum, est

Overlap/eddy_graph_in.sh

@@ -24,6 +24,7 @@ done
 
 ${mpiexec:-mpiexec} -n $1 @CMAKE_CURRENT_BINARY_DIR@/eddy_graph $2
 
+# Two titles lines, one with long names, one with short names:
 cat >number_eddies.csv <<EOF
  "days since 1950-1-1" "number of visible extrema" "number of interpolated eddies" 
  days_1950 number_vis_extr n_interp
@@ -45,7 +46,7 @@ done
 
 # Sort for easier comparison between runs:
 
-export LC_NUMERIC=C # for sort
+export LC_NUMERIC=C # for the sort command
 
 for orientation in cyclo anti
 do